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开普勒定律与嫦娥之旅
- 卢昌海 -
北京时间 2007 年 10 月 24 日下午 18 时 05 分， 中国首颗探月卫星 “嫦娥一号” 在长征三号甲运载火箭的推动下冉冉升起， 开始了令世界瞩目的中国航天史上首次奔月之旅。
毫无疑问， “嫦娥一号” 第一阶段的看点是它的飞行过程。 这一过程遵循的是一条经过精密设计的轨道， 其目标是让 “嫦娥一号” 被月球俘虏， 成为绕月卫星。 但要当月球的俘虏可不是一件容易的事， 因为月球的引力较弱， 抓俘虏的能力有限， 而且它不仅远在 38 万多公里之外， 还以每秒约 1 公里的速度运动着。 “嫦娥一号” 飞临月球的时机和速度只要稍有偏差， 就有可能当不成俘虏， 或因热情过度而在与月球的亲密接触中化为尘埃。 为了让 “嫦娥一号” 能顺利当上俘虏， 同时也兼顾运载火箭的能力， “嫦娥工程” 的设计者们为 “嫦娥一号” 安排了 1 次远地点、 3 次近地点及 3 次近月点共计 7 次变轨。 所有的变轨都完成得非常漂亮， “嫦娥一号” 于北京时间 11 月 7 日 8 时 24 分几乎完美无缺地进入了环月工作轨道。
在这篇短文中， 我们将用大家熟悉的， 已有 380 多年历史的开普勒第三定律 - 它表明在一个中心天体的引力场中所有椭圆轨道的周期平方正比于长轴长度的三次方[注一] - 来估算一下 “嫦娥一号” 各次近地点变轨后的轨道参数， 并与媒体公布的数据进行对比。 我们将看到， 即便在这样一个复杂的航天工程中， 我们在中学物理中学到的简单规律依然可以非常有效地帮助我们理解数据 - 看似朴素的物理学定律， 在这里有着美妙的体现。
根据报道， “嫦娥一号” 的第一次近地点变轨是在北京时间 10 月 26 日 17 时 33 分进行的， 当时 “嫦娥一号” 的飞行高度约为 600 公里。 变轨完成后它进入了近地点高度为 600 公里， 周期为 24 小时的椭圆停泊轨道。 我们来估算一下这一轨道的远地点高度。 我们知道， 开普勒第三定律只关心轨道周期和长轴长度， 而与轨道椭率、 卫星质量等参数完全无关。 这表明所有周期为 24 小时的环地球轨道的长轴长度都相同。 在这些轨道中， 有一个是大家非常熟悉的， 那就是地球同步轨道， 它是一个圆轨道， 其高度 - 对于圆轨道来说它既是近地点高度也是远地点高度 - 约为 35800 公里。 利用这一轨道， 我们立刻可以知道 “嫦娥一号” 的椭圆停泊轨道的近地点高度与远地点高度之和为 35800 × 2 = 71600 公里， 从而远地点高度约为 71600 - 600 = 71000 公里 (媒体公布的数据为 71600 公里， 与估算相差 0.8%)。
“嫦娥一号” 在 24 小时轨道上运行三周后经由第二次近地点变轨进入了一个周期为 48 小时的大椭圆轨道。 这个新轨道的远地点高度又是多少呢？ 我们也来估算一下。 由于新轨道的周期是旧轨道的 2 倍， 因此周期的平方是旧轨道的 4 倍。 按照开普勒第三定律， 新轨道长轴长度的三次方也应该是旧轨道的 4 倍， 从而长轴长度本身应为旧轨道的 41/3 ≈ 1.587 倍。 由于旧轨道的长轴长度是前面提到的近地点和远地点高度之和 (71600 公里) 加上地球的直径 (约为 12750 公里)， 即 84350 公里， 因此新轨道的长轴长度为 84350 × 1.587 ≈ 133860 公里。 扣除地球直径后， 我们就可以得到新轨道的近地点和远地点高度之和约为 133860 - 12750 = 121110 公里。 由于近地点的高度在近地点变轨中基本不变[注二]， 仍为 600 公里， 因此新轨道的远地点高度约为 121110 - 600 = 120510 公里 (媒体公布的数据为 119800 公里， 与估算相差 0.6%)， 这一远地点高度创下了中国航天史上的新纪录 - 当然这或许也是最短命的纪录， 因为它立刻就被下一次变轨所打破。
沿 48 小时轨道运行一周后， “嫦娥一号” 于北京时间 10 月 31 日 17 时 15 分开始了第三次近地点变轨。 经过这次变轨， “嫦娥一号” 终于进入了地月转移轨道， 如它动人的神话先辈那样， 往月球的怀抱扑去。 这一次变轨后的轨道近地点高度仍为 600 公里 (只不过这一次它再也不会飞回近地点了)， 远地点则延伸到了月球轨道附近 (这是当月球俘虏所必需的)。 我们来估算一下， “嫦娥一号” 在进入环月轨道前在这个地月转移轨道上需要飞行多久。 由于地月转移轨道的长轴约为月球轨道长轴 (即直径) 的一半， 按照开普勒定律， 该轨道的周期应为月球公转周期 (约为 27.3 天[注三]) 的 1/√8， 即 231 小时。 由于 “嫦娥一号” 只需在这个轨道上运行半周 (即从近地点飞到远地点)， 因此它的飞行时间约为轨道周期的一半， 即约 115 小时 (媒体公布的数据为 114 小时， 与估算相差 0.9%)[注四]。
类似地， 我们也可以对 “嫦娥一号” 三次近月点变轨 (由于都是减速过程， 因此也叫做近月点制动) 后的轨道参数进行估算， 为避免雷同， 本文就不细述了， 感兴趣的读者可以自己试试， 并与媒体公布的数据进行对比[注五]。
二零零七年十一月七日写于纽约
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注释
[注一] 在表述开普勒定律的时候， 人们通常采用的是半长轴的长度 (请读者想一想， 这是为什么？)。 不过对于我们的目的来说， 用长轴长度更为方便， 两者的差别只是比例系数有所不同。
[注二] 这是平反反比引力场的特殊性质 - 即有界轨道必定闭合 - 的推论。 不过为了使这一结果成立， 变轨过程必须足够迅速， 否则新轨道的近地点高度及轨道取向都会有一定幅度的改变。 在实际的精密轨道计算中这种改变是必须考虑的， 但对于我们的粗略验证来说， 它可以被忽略。
[注三] 读者们也许会对月球公转周期如此显著地小于一个 “月” 感到意外。 对于历法来说， 一个更常用的 “月” 是所谓的朔望月， 它是月相的周期。 由于月相与地球太阳的相对位置有关， 而在一个 “月” 里地球绕太阳转过的角度颇为可观， 因此朔望月与月球公转周期有着不小的差别， 它约为 29.5 天 (感兴趣的读者可以推导一下这个数值)。
[注四] 这一估算虽然从数值上看精度还可以， 但实际上要比前两次估算粗略得多。 因为它忽略了地球直径和近地点高度， 也忽略了远地点高度 (约为 40.5 万公里) 与月球轨道半径 (约为 38.4 万公里) 的差别 (这一差别部分地被无需完全飞至远地点这一事实所抵消)， 以及 “嫦娥一号” 在接近月球时所受月球引力的影响等诸多因素。
[注五] 细心的读者也许注意到了， 在上面的讨论中我们曾以地球同步轨道作为参照， 以避免涉及开普勒第三定律中的比例系数 (在卫星质量可以忽略的情况下， 该系数只与万有引力常数及中心天体的质量有关)。 同样的， 对于绕月轨道， 我们也需要一个参照轨道， 以避免涉及比例系数的具体数值。 请读者利用地球质量为月球质量的 81 倍， 以及比例系数反比于中心天体质量这两条信息来寻找一个参照轨道。
