潮汐现象和洛希极限的简单说明
论坛上有讨论潮汐和洛希极限，今天我也尝试推导了一下，大家看看是否有错误。 当一大群具有总质量为m，受引力束缚的保持在一起的固体(质点)行近一个质量很大的物体M 时，当运行到一个特定的范围内，这一大群质点往往会被撕裂开。[attach]133640[/attach]
上图中，大的质量体是M，一大群靠引力保持在一起的固体m，其中P是m上最靠近M的物质，M和m的距离是R，m的半径是r。
先看看最简单的情况，如果m沿着R的矢量方向（M->m）的逆方向向M运行的情况。
先简单的分析一下在这个系统中P的受力情况，毫无疑问，P即受到m质心的引力，也受到M质心的引力，m和m上的P点都在向M作加速运动，这样如果我们从加速度来考虑这个问题好像更好理解些，如果相对于M来说P点的物质的加速度如果大于m质心的加速度的话，P点就会逐渐远离m的质心，也就是说m倾向于解体。 好现在我们在看一下牛顿力学下的两个简单物体之间的运动状况
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上图中M和m是连个质量体，C是质心的位置，`\vec{r_1}`是M相对于C的位置矢量，方向$C \rightarrow M$（图中箭头方向），$\vec{r_1}$是m相对于C的位置矢量，方向$C \rightarrow m$（图中箭头方向），$\vec{R}$是相对于M的m的位置矢量，方向$M \rightarrow m$，这样必然有这样的关系式。
$M \times \vec{r_1} = - m \times \vec{r_2}$ (根据质心定义，因为r1和r2方向相反因此有个’负号’)
$\vec{R} = \vec{r_2} - \vec{r_1}$ (矢量减法的意义)
根据万有引力定律，m受到的力是 $\vec{F_m} = -G\frac{Mm}{R^3}\vec{R}$，式中的负号和$\vec{R}$是描述$\vec{F}$方向的，M也受到同样的力，在这个力的作用下M和m都向C(质心)加速运行，这样以C为参照物，根据牛顿第二定理，m相对于C的运动可以表述为： $\vec{F_m} = m\ddot{\vec{r_2}}$，其中$\ddot{\vec{r_2}}$是m相对于C的加速度，它是$\vec{r_2}$对于时间的二阶导数，这个力和万有引力相同，因此有
$m\ddot{\vec{r_2}} = \vec{F_m} = -G\frac{Mm}{R^3}\vec{R}$
这样相对于C，m的加速度可以表述为$\ddot{\vec{r_2}} = -G\frac{M}{R^3}\vec{R}$，
根据上面两个关系式（$ \vec{r_1} = - \frac{m}{M} \times \vec{r_2}$ ，$\vec{R} = \vec{r_2} + \frac{m}{M} \times \vec{r_2}$）可以得到$\ddot{\vec{r_2}}$和$\vec{r_2}$的关系:
$\ddot{\vec{r_2}} = -G\frac{M+m}{R^3}\vec{r_2}$。
同样的，对于M相对于C的运动也有$M\ddot{\vec{r_1}} = \vec{F_M} = -G\frac{Mm}{R^3}\vec{R}$，根据上面两个关系式（$ \vec{r_2} = - \frac{M}{m} \times \vec{r_1}$ ，$\vec{R} = - \frac{M}{m} \times \vec{r_1} - \vec{r_1}$），可以得到$\ddot{\vec{r_1}}$和$\vec{r_1}$的关系
$\ddot{\vec{r_1}} = -G\frac{M+m}{R^3}\vec{r_1}$。
这样m相对于M的加速度可以用下面的矢量式表示
$\ddot{\vec{R}} = \ddot{\vec{r_2}} - \ddot{\vec{r_1}} = -G\frac{M+m}{R^3}\vec{r_2} + G\frac{M+m}{R^3}\vec{r_1} = - G\frac{M+m}{R^3}\vec{R}$ 回过头我们在看第一帖的图
根据上式m的质心相对于M的质心有下面的加速度
$a_m = G\frac{M+m}{R^2}$，方向指向M
同样的如果P的质量为u，对于M对P点的引力产生相对于M的加速度可以如下表示：
$a_{P_M} = G\frac{M+u}{(R-r)^2}$，方向指向M
对于对于m对P点的引力产生相对于m的加速度可以如下表示：
$a_{P_m} = G\frac{m+u}{r^2}$ ($a_{P_m}$的方向和$a_{P_M}$相反)
因此P点相对于M的加速度可以表述成
$a_{P} = a_{P_M} - a_{P_m} = G\frac{M+u}{(R-r)^2} - G\frac{m+u}{r^2}$，
只要$a_{P} > a_{m}$，P点就会远离m，就是说m就要解体了，
$a_{P} > a_{m} \Rightarrow G\frac{M+u}{(R-r)^2} - G\frac{m+u}{r^2} > G\frac{M+m}{R^2}$
第一个假设，如果三个对象的质量满足 $M >> m >> u$，则上式可以化简为
$ G\frac{M}{(R-r)^2}-G\frac{m}{r^2} > G\frac{M}{R^2} \Rightarrow \frac{M}{(R-r)^2} - \frac{M}{R^2} > \frac{m}{r^2} \Rightarrow M \frac{r(2R-r)}{(R-r)^{2}R^{2}} > \frac{m}{r^2}$
第二个假设，如果m到M的距离和P到m质心的距离满足 $R >> r$，上式可进一步化简
$M \frac{r(2R-r)}{(R-r)^2R^2}> \frac{m}{r^2} \Rightarrow M \frac{2rR}(R^{2}R^{2}} = \frac{2Mr}{R^3} > \frac{m}{r^2} \Rightarrow \frac{2M}{R^3} > \frac{m}{r^3} $
进一步可以得到$ R < r(\frac{2M}{m})^\frac{1}{3} $
[[i] 本帖最后由 wenlianyi 于 2008-6-28 15:35 编辑 [/i]] 上面的情况可能过于简单了，实际上天体运行的轨迹是圆锥曲线，这种一头栽进去的现象好像不多，那么对于按圆锥曲线运行的天体，他的潮汐现象和洛希极限的情况又是怎么样呢。
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如上图，假设星体是按照圆轨道绕M运行（不考虑m自转），m绕M旋转的角速度是$\dot{\theta}$，m的加速度可以表示为$\vec{a} = \frac{dv}{dt} = \frac{d(\dot{\theta} \times R)}{dt}$，这个式子对叉积展开求微商可以得到 $\vec{a} =\frac{d\dot{\theta}}{dt} \times R + \dot{\theta} \times \frac{dr}{dt}$，两个分量，其中第一个是切向上的加速度，如果对于匀速圆周运动来说$\frac{d\dot{\theta}}{dt} = 0$，第二个是径向上的加速度。如果是匀速圆周运动的话可以写成$\vec{a} = R{\dot{\theta}}^2$ 。
在考虑一下这个系统，m质点中心的惯性力——离心力与引力相同，那么对于m质点中心的加速度由下面的关系
$\vec{a_{mL}} = R{\dot{\theta}}^2 = G\frac{M+m}{R^2}$
P点也有惯性力（离心力），P点离心加速度就是
$\vec{a_{pL}} = (R-r){\dot{\theta}}^2 = R{\dot{\theta}}^2 - r{\dot{\theta}}^2 = \vec{a_{mL}} - r{\dot{\theta}}^2
其中${\dot{\theta}}^2 = G\frac{M+m}{R^3}$
因此有$\vec{a_{pL}} - \vec{a_{mL}} = -G\frac{M+m}{R^3}r$
那么再把这个加速度考虑进去，结合上一帖的分析结果，如果P点要离开m，需要满足下面的关系式
$a_{P} > a_{m} \Rightarrow G\frac{M+u}{(R-r)^2} - G\frac{m+u}{r^2}-(\vec{a_{pL}} - \vec{a_{mL}}) > G\frac{M+m}{R^2}$
结合上面两式得
$a_{P} > a_{m} \Rightarrow G\frac{M+u}{(R-r)^2} - G\frac{m+u}{r^2} + G\frac{M+m}{R^3}r > G\frac{M+m}{R^2}$
运用第一个假设和第二个假设，则上式可以化简为
$M(\frac{r(2R-r)}{(R-r)^2R^2} + \frac{r}{R^3}) > \frac{m}{r^2} \Rightarrow \frac{3M}{R^3} > \frac{m}{r^3} $
进一步可以得到在匀速圆周运动的系统中（不考虑自转）的表达式
$ R < r(\frac{3M}{m})^\frac{1}{3} $
[[i] 本帖最后由 wenlianyi 于 2008-6-28 15:39 编辑 [/i]] 当然实际情况要复杂的多，如果是椭圆轨道，如果m有自转，这些我还没有考虑，大家有兴趣可以想一想。 又想了一下在轨道上匀速圆周运动中m自转的情况，如果m的自转轴垂直于轨道面，并且以角速度$\dot{\varphi}$绕轴自转，这样P点绕轴的圆周运动的径向加速度就是$r\dot{\varphi}^2$。
这样在上述不等式是否可以写成
$a_{P} > a_{m} \Rightarrow G\frac{M+u}{(R-r)^2}-(G\frac{m+u}{r^2}- r\dot{\varphi}^2) + G\frac{M+m}{R^3}r > G\frac{M+m}{R^2}$
运用第一个假设和第二个假设，则上式可以化简为
$GM(\frac{r(2R-r)}{(R-r)^2R^2} + \frac{r}{R^3}) > \frac{Gm}{r^2} - r\dot{\varphi}^2 \Rightarrow \frac{3GM}{R^3} > \frac{Gm}{r^3} - \dot{\varphi}^2 $
进一步可以得到
$R < r(\frac{3GM}{Gm-r^3 \dot{\varphi}^2})^{\frac{1}{3}}$
不知道上面的推导是否正确，希望专家来指导一下。
[[i] 本帖最后由 wenlianyi 于 2008-6-29 11:09 编辑 [/i]] [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Roche_limit]http://en.wikipedia.org/wiki/Roche_limit[/url]
很不错的连接, 有兴趣的可以参考一下(可能要用代理) 我理解洛希极限简单说是某星体受另一星体潮汐力>=这个星体对其上质点的引力，这个距离就是洛希极限。
假如是彗星超过洛希极限很容易就解体了，如果是颗金属星体，估计可以超过很多也不会解体？？
[[i] 本帖最后由 银河负熵 于 2008-7-26 01:20 编辑 [/i]] 公示好像没有显示好，不知道是什么问题 `$a=b/c$`
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[[i] 本帖最后由 愚石 于 2008-7-27 17:20 编辑 [/i]]
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